人教版高一数学“交集”教案
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必修二
【篇一】
一、目的要求
结合的图形表示，理解交集与并集的概念。
二、内容分析
1．这小节继续研究的运算，即的交、并及其性质。
2．本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系。
三、教学过程
复习提问：
2．填空：如果全集U={x|0≤x＜6，X∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么，
A=_________，B=__________。
（A={0，2，4}，B={0，2，3，5}）
新课讲解：
1.观察下面两个图的阴影部分，它们同A、B有什么关系？
2.定义：
(1)交集：A∩B={x∈A,且x∈B}。
(2)并集：A∪B={x∈A,且x∈B}。
3.讲解教科书1.3节例1－例5。
组织讨论：
观察下面表示两个A与B之间关系的5个图，根据这些图分别讨论A∩B与A∪B。
(2)中A∩B=φ。
(3)中A∩B=B，A∪B=A。
(4)中A∩B=A，A∪B=B。
(5)中A∩B=A∪B=A=B。
课堂练习：
拓广引申：
在教科书的例3中，由A={3，5，6，8}，B={4，5，7，8}，得
A∪B={3，5，6，8}∪{4，5，7，8}
={3，4，5，6，7，8}
card(A∪B)≠card(A)+card(B)
这是因为中的元素是没有重复现象的，在两个的公共元素只能出现一次。那么，怎样求card(A∪B)呢？不难看出，要扣除两个的公共元素的个数，即card(A∩B)。在上例中，card(A∩B)=2。
一般地，对任意两个有限A，B，有
card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B)。
四、布置作业
1.教科书习题1.3第1～5题。
2.选作：设A={x|－4≤x＜2},B={－1＜x≤3},C={}。
求A∩B∩C，A∪B∩C。
【篇二】
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解两个的并集与交集的含义，会求两个简单的并集和交集.
（2）能使用Venn图表示的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用。
（3）掌握的关的术语和符号，并会用它们正确进行的并集与交集运算。
2．过程与方法
通过对实例的分析、思考，获得并集与交集运算的法则，感知并集和交集运算的实质与内涵，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力.
3．情感、态度与价值观
通过的并集与交集运算法则的发现、完善，增强学生运用数学知识和数学思想认识客观事物，发现客观规律的兴趣与能力，从而体会数学的应用价值.
（二）教学重点与难点
重点：交集、并集运算的含义，识记与运用.
难点：弄清交集、并集的含义，认识符号之间的区别与联系
（三）教学方法
在思考中感知知识，在合作交流中形成知识，在钻研和探究中提升思维能力，尝试实践与交流相结合.
（四）教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
提出问题引入新知思考：观察下列各组，联想实数加法运算，探究能否进行类似“加法”运算.
（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}
（2）A={x|x是有理数}，
B={x|x是无理数}，
C={x|x是实数}.
师：两数存在大小关系，两存在包含、相等关系；实数能进行加减运算，探究是否有相应运算.
生：A与B的元素合并构成C.
师：由A、B元素组合为C，这种形式的组合就是为的并集运算.生疑析疑，
导入新知
形成
概念
思考：并集运算.
C是由所有属于A或属于B的元素组成的，称C为A和B的并集.
定义：由所有属于A或B的元素组成的.称为A与B的并集；记作：A∪B；读作A并B，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}，Venn图表示为：
师：请同学们将上述两组实例的共同规律用数学语言表达出来.
学生合作交流：归纳→回答→补充或修正→完善→得出并集的定义.在老师指导下，学生通过合作交流，探究问题共性，感知并集概念，从而初步理解并集的含义.
应用举例例1设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B.
例2设A={x|–1＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}，求A∪B.
例1解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.
例2解：A∪B={x|–1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}={x=–1＜x＜3}.
师：求并集时，两的相同元素如何在并集中表示.
生：遵循元素的互异性.
师：涉及不等式型问题.
注意利用数轴，运用数形结合思想求解.
生：在数轴上画出两，然后合并所有区间.同时注意元素的互异性.学生尝试求解，老师适时适当指导，评析.
固化概念
提升能力
探究性质①A∪A=A，②A∪=A，
③A∪B=B∪A，
④∪B，∪B.
老师要求学生对性质进行合理解释.培养学生数学思维能力.
形成概念自学提要：
①由两的所有元素合并可得两的并集，而由两的公共元素组成的又会是两的一种怎样的运算？
②交集运算具有的运算性质呢？
交集的定义.
由属于A且属于B的所有元素组成的，称为A与B的交集；记作A∩B，读作A交B.
即A∩B={x|x∈A且x∈B}
Venn图表示
老师给出自学提要，学生在老师的下自我学习交集知识，自我体会交集运算的含义.并总结交集的性质.
生：①A∩A=A；
②A∩=；
③A∩B=B∩A；
④A∩，A∩.
师：适当阐述上述性质.
自学辅导，合作交流，探究交集运算.培养学生的自学能力，为终身发展培养基本素质.
应用举例例1（1）A={2，4，6，8，10}，
B={3，5，8，12}，C={8}.
（2）新华中学开运动会，设
A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，
B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.
例2设平面内直线l1上点的为L1，直线l2上点的为L2，试用的运算表示l1，l2的位置关系.学生上台板演，老师点评、总结.
例1解：（1）∵A∩B={8}，
∴A∩B=C.
（2）A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的.所以，A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.
例2解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合.
（1）直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2={点P}；
（2）直线l1，l2平行可表示为
L1∩L2=；
（3）直线l1，l2重合可表示为
L1∩L2=L1=L2.提升学生的动手实践能力.
归纳总结并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}
交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}
性质：①A∩A=A，A∪A=A，
②A∩=，A∪=A，
③A∩B=B∩A，A∪B=B∪A.学生合作交流：回顾→反思→→小结
老师点评、阐述归纳知识、构建知识网络
课后作业1.1第三课时习案学生完成巩固知识，提升能力，反思升华
备选例题
例1已知A={–1，a2+1，a2–3}，B={–4，a–1，a+1}，且A∩B={–2}，求a的值.
【解析】法一：∵A∩B={–2}，∴–2∈B，
∴a–1=–2或a+1=–2，
解得a=–1或a=–3，
当a=–1时，A={–1，2，–2}，B={–4，–2，0}，A∩B={–2}.
当a=–3时，A={–1，10，6}，A不合要求，a=–3舍去
∴a=–1.
法二：∵A∩B={–2}，∴–2∈A，
又∵a2+1≥1，∴a2–3=–2，
解得a=±1，
当a=1时，A={–1，2，–2}，B={–4，0，2}，A∩B≠{–2}.
当a=–1时，A={–1，2，–2}，B={–4，–2，0}，A∩B={–2}，∴a=–1.
例2A={x|–1＜x＜1}，B={x|x＜a}，
（1）若A∩B=，求a的取值范围；
（2）若A∪B={x|x＜1}，求a的取值范围.与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。
【解析】（1）如下图所示：A={x|–1＜x＜1}，B={x|x＜a}，且A∩B=，
∴数轴上点x=a在x=–1左侧.
∴a≤–1.
（2）如右图所示：A={x|–1＜x＜1}，B={x|x＜a}且A∪B={x|x＜1}，
∴数轴上点x=a在x=–1和x=1之间.
∴–1＜a≤1.
例3已知A={x|x2–ax+a2–19=0}，B={x|x2–5x+6=0}，C={x|x2+2x–8=0}，求a取何实数时，A∩B与A∩C=同时成立？
【解析】B={x|x2–5x+6=0}={2，3}，C={x|x2+2x–8=0}={2，–4}.
由A∩B和A∩C=同时成立可知，3是方程x2–ax+a2–19=0的解.将3代入方程得a2–3a–10=0，解得a=5或a=–2.
当a=–2时，A={x|x2+2x–15=0}={3，5}，此时A∩B与A∩C=，同时成立，∴满足条件的实数a=–2.
例4设A={x2，2x–1，–4}，B={x–5，1–x，9}，若A∩B={9}，求A∪B.
【解析】由9∈A，可得x2=9或2x–1=9，解得x=±3或x=5.
当x=–3时，A={9，–7，–4}，B={–8，4，9}，A∩B={9}满足题意，故A∪B={–7，–4，–8，4，9}.
当x=5时，A={25，9，–4}，B={0，–4，9}，此时A∩B={–4，9}与A∩B={9}矛盾，故舍去.
综上所述，x=–3且A∪B={–8，–4，4，–7，9}.
高一人教版数学要学的知识有哪些
和化积公式推导高一数学目录
-人教版
必修一
章与函数概念
1．
1
1．
2函数及其表示
1．
3函数的基本性质
实习作业
小结
第二章基本初等函数（Ⅰ
n项和）2
．1
指数函数
2对数函数
3幂函数
小结
第三章函数的应用
3．
1函数与方程
3．
2函数模型及其应用
实习作业
小结
章空间几何体
1．
1空间几何体的结构
1．
2空间几何体的三视图和
直观图
1．
3空间几何体的表面积与
体积
实习作业
小结
第二章点、直线、平面之间
的位置关系
1空间点、直线、平面之
间的位置关系
平面平行的判定
及其性质
3直线、
平面垂直的判定
及其性质
小结
第三章直线与方程
3．
1直线的倾斜角与斜率
3．
2直线的方程
3．
3直线的交点坐标与距离
小结
必修三
章算法初步
1．
1算法与程序框图
1．
2基本算法语句
1．
3算法案例
阅读与思考割圆术
小结
第二章统计
1随机抽样
阅读与思考一个的案
例阅读与思考广告中数据的
可靠性
阅读与思考如何得到敏感
性问题的诚实反应
2用样本估计总体
阅读与思考生产过程中的
3变量间的相关关系
阅读与思考相关关系的强
与弱
实习作业
小结
第三章概率
3．
1随机的概率
阅读与思考天气变化的认
识过程
3．
2古典概型
3．
3几何概型
阅读与思考概率与密码
小结
必修四
章三角函数
1．
1任意角和弧度制
1．
2任意角的三角函数
1．
3三角函数的诱导公式
1．
4三角函数的图象与性质
1．
5函数
y=Asin
（ω
x+
ψ）
1．
6三角函数模型的简单应
用小结
第二章平面向量
1平面向量的实际背景及
基本概念
2平面向量的线性运算
3平面向量的基本定理及
2．坐标表示
4平面向量的数量积
5平面向量应用举例
小结
3．
1两角和与的正弦、
余弦和正切公式
3．
2简单的三角恒等变换
小结
必修五
1．
探究与发现解三角形的进
一步讨论
1．
2应用举例
阅读与思考海伦和秦九韶
1．
小结
第二章数列
1数列的概念与简单表示
法阅读与思考斐波那契数列
阅读与思考估计根号下
2的
值2
等数列
3等数列的前
4等比数列
5等比数列前
阅读与思考九连环
探究与发现购房中的数学
小结
第三章不等式
3．
1不等关系与不等式
3．
2一元二次不等式及其解
法3
．3
二元一次不等式（组）
信息技术应用用
Excel
解线
性规划问题举例
3．
4基本不等式
高一数学人教a和人教b有什么区别
复习参考题难易程度不同、．2编辑模块不同。
教科书1.3节个练习第1～5题。1、难易程度不同：人教版高中数学A版要比B版简单一些。B版除了内容比A版多而难以外，B版的练习题，尤其是B版的B组练习题，难度非常大的。
2、编辑模块不同：A版是传统的运用公理定理做辅助线等几何方式来解立体几何题的。B版属于新设内容，沿袭高一下册平面向量部分的知识，用空间向量的方法和概念来解立体几何题，将几何问题代数化计算求解。
人教版新高一数学必修一求函数的解析式换元法
1.
函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)
;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则
f(0)=0(可用于求参数);
(f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
复合函数扩展资料：数学必修一章节内容：的有关问题
(1)复合函数定义域求法：若已知
的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求
f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即
f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;
(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
对称;
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时，f(x
+a)=f(x-a)
或f(x-2a
3实习作业)=f(x)
(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2
的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2
的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x记忆方法：谐音、联想+a)=
，则y=f(x)是周期为2
的周期函数;
5.方程k=f(x)有解
k∈D(D为f(x)的值域);
6.a≥f(x)
恒成立
a≥[f(x)]max,;
a≤f(x)
恒成立
a≤[f(x)]min;
(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(2)
aN=
(a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3)
ab的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4)
alog
aN=
N(
a>0,a≠1,N>0
);
8.
判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9.
能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5)
y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
12.
13.
上饶德兴高一数学书是人教版a版吗
不log是。根据查询电子课本网显示，上饶德兴2023年高一新考试教材除数学外，语文，英语，物理，化学，7.(1)生物，1．说出A的意义。地理，和历史都是人教版a版教材，数学为北师大版。物理为必修一。
人教版高一数学上册学些什么
恒成立问题的处理方法：(1)分离当x=3时，A={9，5，–4}，B={–2，–2，9}，B中元素违背了互异性，舍去.参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;这算是函数比较完整的解法，你可以变换着做，不是每一道题只有一种方法高一上册应该学两本书我们这是学必修一和必修四，不知你们那儿怎样。而人教版数学又有人教A版和人教B版，我学的是人教A版。
2.必修一主要是与函数概念，基本初等函数,函数的应用。
必修四主要是拓展一下三角函数，简单了解一下平面向量。
高一数学期中知识点总结
命题通常注意试题背景，强调数学思想，注重数学应用;试题强调问题性、启发性，突出基础性;重视通性通法，淡化特殊技巧，凸显数学的问题思考;强化主干知识;关注知识点的衔接，考察创新意识。知识是取之不尽，用之不竭的。只有限度地挖掘它，才能体会到学习的乐趣。任何一门学科的知识都需要大量的记忆和练习来巩固。虽然辛苦，但也伴随着快乐!下面是我给大家整理的一些 高一数学 的知识点，希望对大家有所帮助。
tan（3π/2－α）＝cotα高一数学必修四知识点梳理
1.回归分析：
就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进行测定，确定一个相关的数学表达式，以便进行估计预测的统计分析 方法 。根据回归分析方法得出的数学表达式称为回归方程，它可能是直线，也可能是曲线。
2.线性回归方程
设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点(xi,yi)(i=1,......,n)大致分布在一条直线的附近，则回归直线的方程为。
3.线性相关性检验
线性相关性检验是一种设检验，它给出了一个具体检验y与x之间线性相关与否的办法。
①在课本附表3中查出与显著性水平0.05与自由度n-2(n为观测值组数)相应的相关系数临界值r0.05。
②由公式，计算r的值。
③检验所得结果
如果|r|≤r0.05，可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，接受统计设。
如果|r|>r0.05，可以认为y与x之间不具有线性相关关系的设是不成立的，即y与x之间具有线性相关关系。
高 一年级数学 必修三知识点
1、算法概念：
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
2、算法的特征
①有限性：算法中的步骤序列是有限的，必须在有限作之后停止，不能是无限的。
②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可。
③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题。
④不性：求解某一个问题的解法不一定是的，对于一个问题可以有不同的算法。
⑤普通性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算其计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决。
概率
(1)的包含、并、交、相等
(2)若A∩B为不可能，即A∩B=ф，即不可能同时发生的两个，称A与B互斥;
概率加法公式：当A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B);若A与B为对立，则A∪B为必然，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
高一 数学 学习方法 参考
1.认真研读《考试说明》和《考纲》
《考试说明》和《考纲》是每位考生必须熟悉的最权威最准确的高考信息，通过研究应明确“考什么”、“考多难”、“怎样考”这三个问题。
《考纲》明确指出“创新意识是 理性思维 的高层次表现”。因此试题都比较新颖活泼。所以复习中你就要加强对新题型的练习，揭示问题的本质，创造性地解决问题。
2.审视知识结构
高考数学试题一直注重对思维方法的考查，数学思维和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括。知识是思维能力的载体，因此通过对知识的考察达到考察数学思维的目的。你需要建立各部分内容的知识网络;全面、准确地把握概念，在理解的基础上加强记忆;加强对易错、易混知识的梳理;要多角度、多方位地去理解问题的实质;体会数学思想和解题的方法。
3.把盖住看例题
参考书上例题不能看一下就过去了，因为看时往往觉得什么都懂，其实自己并没有理解透彻。所以，在看例题时，把解答盖住，自己去做，做完或做不出时再去看，这时要想一想，自己做的与解答哪里不同，哪里没想到，该注意什么，哪一种方法更好，还有没有另外的解法。经过上面的训练，自己的思维空间扩展了，看问题也全面了。如果把题目的来源搞清了，在题后加上几个批注，说明此题的.“题眼”及巧妙之处，收益将更大。
数学能力的提高离不开做题，“熟能生巧”这个简单的道理大家都懂。但做题不是搞题海战术，要通过一题联想到多题。你需要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一数学问题的多条途径，在分析解决问题的过程中既构建知识的横向联系又养成多角度思考问题的习惯。
与其一节课抓紧时间大汗淋淋地做二、三十道考查思路重复的题，不如深入透彻地掌握一道典型题。例如深入理解一个概念的多种内涵，对一个典型题，尽力做到从多条思路用多种方法处理，即一题多解;对具有共性的问题要努力摸索规律，即多题一解;不断改变题目的条件，从各个侧面去检验自己的知识，即一题多变。习题的价值不在于做对、做会，而在于你明白了这道题想考你什么。
5.答题少费时多办事
解题上要抓好三个字：数，式，形;阅读、审题和表述上要实现数学的三种语言自如转化(文字语言、符号语言、图形语言)。要重视和加强选择题的训练和研究。不能仅仅满足于正确，还要学会优化解题过程，追求解题质量，少费时，多办事，以赢得足够的时间思考解答题。要不断积累解选择题的 经验 ，尽可能小题小做，除直接法外，还要灵活运用特殊值法、排除法、检验法、数形结合法、估计法来解题。在做解答题时，书写要简明、扼要、规范，不要“小题大做”，只要写出“得分点”即可。
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★ 高一数学期末知识点总结
★ 高一数学期末考试知识点总结
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人教版高一上学期数学问题（函数）求解
其中。（1质量控制图）单增。f'(x)=3x^2+1>0
显然，（2）设g(x)=x^3+x-a g(x)=3x^2+1>0，单增的函数与x轴至多1个交点，所以g（x）=0至多1个根，所以满足f(x)=a (a为常数)的实根x 至多有一个
石家庄高一数学课本是人教版还是冀教版
1正弦定理和余弦定理人教版。
log石家庄sin2α＝2sinαcosα高一数学课本是用的人教版，人教版的教材，由教育出版社出版的教科书，简称为人教版，小学到高中都有这个版本的教材。
石家庄，简称石，旧称石门，河北省辖地级市、省会，是批复确定的京津冀地区重要的中心城市之一。
人教版数学高一必修一和必修四的基本公式
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=数学高一必修一基本公式
与函数概念
一,有关概念
1,的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个,其中每一个对象叫元素.
2,的中元素的三个特性:
1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的,中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的的元素.
(2)任何一个给定的中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个时,仅算一个元素.
(3)中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4)元素的三个特性使本身具有了确定性和整体性.
3,的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}
2.的表示方法:列举法与描述法.
注意啊:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:n
正整数集 n或 n+ 整数集z 有理数集q 实数集r
关于"属于"的概念
的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是a的元素,就说a属于a 记作 a∈a ,相反,a不属于a 记作 a(a
列举法:把中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.
描述法:将中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个的方法.
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3]2的解集是{x(r| x-3]2}或{x| x-3]2}
4,的分类:
1.有限集 含有有限个元素的
2.无限集 含有无限个元素的
3.空集 不含任何元素的 例:{x|x2=-5}
二,间的基本关系
1."包含"关系—子集
注意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一.
反之: a不包含于b,或b不包含a,记作ab或ba
2."相等"关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 a={x|x2-1=0} b={-1,1} "元素相同"
结论:对于两个a与b,如果a的任何一个元素都是b的元素,同时,b的任何一个元素都是a的元素,我们就说a等于b,即:a=b
① 任何一个是它本身的子集.a(a
②真子集:如果a(b,且a( b那就说a是b的真子集,记作ab(或ba)
③如果 a(b, b(c ,那么 a(c
④ 如果a(b 同时 b(a 那么a=b
3. 不含任何元素的叫做空集,记为φ
规定: 空集是任何的子集, 空集是任何非空的真子集.
三,的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于a且属于b的元素所组成的,叫做a,b的交集.
记作a∩b(读作"a交b"),即a∩b={x|x∈a,且x∈b}.
2,并集的定义:一般地,由所有属于a或属于b的元素所组成的,叫做a,b的并集.记作:a∪b(读作"a并b"),即a∪b={x|x∈a,或x∈b}.
3,交集与并集的性质:a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a,a∪a = a,a∪φ= a ,a∪b = b∪a.
4,全集与补集
(1)补集:设s是一个,a是s的一个子集(即),由s中所有不属于a的元素组成的,叫做s中子集a的补集(或余集)
记作: csa 即 csa ={x ( x(s且 x(a}
(2)全集:如果s含有我们所要研究的各个的全部元素,这个就可以看作一个全集.通常用u来表示.
(3)性质:⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(cua)∪a=u
必修四
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：（参看或参考资料链接）
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。
（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和公式
⒉两角和与的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
1－cosα
sin^2(α/2)＝—————
21＋cosα
cos^2(α/2)＝—————
21－cosα
tan^2(α/2)＝—————
1＋cosα
公式
⒌公式
2tan(α/2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α/2)
1－tan^2(α/2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan^2(α/2)
公式推导
附推导：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的公式。正切的公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式
⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－3tan^2(α)
三倍角公式推导
附推导：
tan3α＝si章解三角形n3α/cos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆
正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
和化积公式
⒎三角函数的和化积公式
α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----
2 2
积化和公式
⒏三角函数的积化和公式
sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
附推导：
首先,我们知道sin(a+b)=sinaco+cosasinb,sin(a-b)=sinaco-cosasinb
所以,sinaco=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosaco-sinasinb,cos(a-b)=cosaco+sinasinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosaco
同理,两式相减我们就得到sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和的四个公式:
sinaco=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosaco=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和的四个公式以后,我们只(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或需一个变形,就可以得到和化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)
向量的运算
加法运算
AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。
|a＋b|≤|a|＋|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。
设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ + μ)a = λa + μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。