最小多项式没有重根

至于如何求相似矩阵b，现在p不知道，要先求p，p是a的线性无关的特征向量x的组合p=[x1

定理5.3,因为其实最小多项式就是等于第N个不变因子（易证）,第N个不变因子若没有重根,则说明其特征多项式是一次因式的乘积,所以是可以对角化的

矩阵相似的充要条件 证明两个矩阵相似的充要条件

矩阵相似的充要条件 证明两个矩阵相似的充要条件

一楼说错了，一个不变可见，入i为a的特征值，pi为a的特征向量，因子没有重根也不能说明特征多项式没有重根。

d1=1，不是，是必要非充分条件。2个矩阵相似的必要条件是“两个矩阵的秩相等,行列式也相等”。d2=（lamda-1），d3=（lamda-1），就问你特征多项式有没有重根？

矩阵能相似对角化的充要条件

（2）判断行列式是否相等；

矩阵a存在设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得相似对角阵的充要条件是:如果a是n阶方阵，它必须有n个线性无关的特征向量。

至于如何看a是否存在相似矩阵，只须求出其特征值和特征向量即可看出，公式为ax=λx，其中x为特征向量，λ为特征值。注意，有可能存在求出的某个λ是多重特征值的情况，如w重特征值，只要这个λ对应有w个线性无关的特征向量即不影响相似矩阵的存在。

设矩阵为A，则充要条件为：

1）A有n个线性无关的特征向量.

2)A的极小多项式没有重根.

充分非必要条件：

1)A没有重特征值

2)AA^H=[x1=A^HA

必要非充分条件：

f(A)可对角化,其中f是收敛半径大于A的谱半径的任何解析函数

拓展资料

1、如果这个矩阵可以化为对角矩阵的话那求特征值吧,它的特征值就是对角矩阵的元素,前提是该矩阵是可化为对角矩阵的,如果是对称矩阵,那对称矩阵一定可以化为对角矩阵。

高等代数理论基础57：矩阵相似的条件

1、两者的秩相等；

引理：若有 数字矩阵 使 ,则A与B相似

引理：对任何不为零的 数字矩阵A和 -矩阵 与 ,一定存在 -矩阵 与 希望能解决您的问题. 以及数字矩阵 和 ,使 ,

矩阵A的特征矩阵 的不变因子简称为A的不变因子

两个 -矩阵等价的充要条件为它们有相同的不变因子

推论：矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的不变因子

矩阵的特征矩阵的秩一定为n,故 矩阵的不变因子总有n个,且它们的乘积即这个矩阵的特征多项式

注：不变因子是矩阵的相似不变量,故我们可将一个线性变换的任一矩阵的不变因子(与矩阵的选取无关)证明：定义为此线性变换的不变因子

矩阵相似的充分条件是什么

设,则A可以地分解为A=U1R ,其中U1是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵，或A可以地分解为其中L是正线上三角复矩阵，是酉矩阵

（1）判断特征值是否相等；

（3）选D。只是行列式相等，或者秩相等，完全不够充分条件。特征多项式相同，但是没有n个线性无关的特征向量也不行，只有D满足条件。充分条件是有n个线性无关的特征向量。判断迹是否相等；

设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，记为A~B。对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

1、求出全部的特征值。

2、对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量。参考资料来源：

矩阵相似的重要条件是什么?

选D。只是行列式相等，或者秩相等，完全不够充分条件。特征多项式相同，但是没有n个线性无关的特征向量也不行，只有D满足条件。充分条件是有n个线性无关的特征向量。

矩阵A与B相似,即存在可逆矩阵P,满足 P^-1AP = B.

5、两者拥有同样的特征多项式；

基本结论:相似矩阵的特征多项式相同

推论:相似矩阵特征值相同,行列式相同,迹也相同 (此推论常用=(α1，α2，...，αn)diag(λ1，λ2，...，λn）,需记住)

两个常用结论:A的行列式等于A的全部特征值之积

A的迹等于A的全部特征值之和

计算B的特征值:|B-λE| = -(1-λ)^2(1+λ)

所以B的特征值为:1,1,-1

所以 A-2E 的特征值为 1-2=-1,1-2=-1,-1-2=-3.

故 A-2E 可逆.[ A可逆的充分必要条件之一是 A的特征值都不为0 ]

同样有 A-E 的特征值为:1-1=0,1-1=0,-1-1 = -2

故 r(A-E) = 1 [ 别问为什么,会用就行,它的秩等于它非零特征值的个数 ]

所以 R(A-2E)+R(A-E) = 3+1 = 4.

矩阵可以相似对角化的充要条件

可相似对角化的充分必要条件是：n阶方阵存在n个线性无关的特（2）判断行列式是否相等；征向量。

推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵。

如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。

可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理：它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单（4）判断秩是否相等。的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。

矩阵对角化的条件：

有个线性无关的特征向量，可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵A相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵P使得P1AP是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。

如果V是有对于给定的A、B，能够找到这样的一个P，使得：P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C，使得A和B均相似于C。限维度的向量空间，则线性映射T：V→V被称为可对角化的，如果存在V的一个基，T关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。

任意两个3阶矩阵A，B相似的方法：

1、先求特征多项式，f(λ)=|λE-A|，g(λ)=|λE-B|。

2、若f(λ)≠g(λ)则矩阵A，B不相似。

3、若f(λ)=g(λ)，且有3个不同根，则矩阵A，B相似。

矩阵相似的充分条件

由A与B相似知 A的特征值为1,1,-1

虽然A和B的特征值相同是A相似于B的必要不充分条件，但是要注意如果A和B都没有重特征值的话这个条件就充分了。

你的例子里证明：A没有重特征值，所以一定可以对角化。但是有一个重要的结论需要知道：n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（重特征值按重数计算个数）。

n阶矩阵相似的充分必要条件是什么？

p2

1.属于不同特征值的特征向量一定线性无关.

=[x1

2.相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.

3.设x是矩阵a的属于特征值1的特征向量,且a~b,即存在满秩矩阵p使b=p(-1)ap,则y=p(-1)x是矩阵b的属于特征值1的特征向量．

4.n定理：设A,B是数域P上两个 矩阵,A与B相似的充要条件为它们的特征矩阵 和 等价 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有n个线性无关的分别属于特征值1,2,3...的特征向量（1,2,3...中可以有相同的值）．

行列式相等是矩阵相似的充要条件吗?

矩阵相似的判定条件：

最直接的先看两个矩阵的迹（即主对角线上的2015年5月24日22:32:58元素相加的和）是否相等。

然后是根据特征方程式|λI-A|=0求出两个矩阵的特征值,看特征值是否相等,特征值如果相等了那么它们的行列式必然会相等（因为矩阵行列式的值等于特征值之积）,所以|A|=|B|自然就会成立了。

如果上面条件都成立的话就检验两个矩阵的秩是否相等，即对两个矩阵进行初等行变换,化成阶梯矩阵就可判定矩阵的秩。

矩阵相似的充要条件：

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。注:定理的证明过程实际上判断两个矩阵是否相似的辅助方法：已经给出了把方阵对角化的方法。

求出全部的特征值。

对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成,即为对应4、若f(λ)=g(λ)，且有2个不同根，即，f(λ)=g(λ)=(λ-a)^2(λ-b)，(aE-A)(bE-A)=(aE-B)(bE-B)=0， 则矩阵A，B相似。的线性无关的特征向量。

上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。